Évaluer la force d'un acide - Mise en équation 2

1. Établir l'équation de réaction

L'acide va réagir avec l'eau selon une transformation chimique modélisée par la réaction acide-base d'équation : \(\mathrm{AH(aq)+H_2O(\ell)\rightleftarrows A^-(aq)+H_3O^+(aq)}\).

2. Déterminer les quantités de matière initiales

La quantité de matière initiale en acide est \(n_\mathrm{AH,i}=C_\mathrm{i}\times V\).

La constante d'équilibre à la température `T` associée à cette réaction et à cette équation est la constante d'acidité du couple acide-base notée \(K_\mathrm{A}\).

À l'état initial, on considère :

• qu'il n'y a pas encore de la base conjuguée dans la solution ;
  
• que la quantité de matière initiale en ion oxonium est nulle (ce qui revient à négliger l'autoprotolyse de l'eau).

3. Exprimer l'avancement maximal et l'avancement final en fonction de la concentration initiale en acide apporté, du volume de solution et du taux d'avancement final

On peut dresser le tableau d'avancement suivant.

Si la transformation est totale, on a : \(x_\mathrm{max}=n_\mathrm{AH,i}=C_\mathrm{i}\times V\).

Par définition, le taux d'avancement final est \(\tau_\text{f}=\frac{x_\text{f}}{x_\text{max}}\), donc \(x_\mathrm{f}=\tau_\mathrm{f}\times x_\mathrm{max}=\tau_\mathrm{f}\times C_\mathrm{i}\times V\).

4. Effectuer un bilan de matière à l'état d'équilibre

Comme l'état final est un état d'équilibre chimique, on a :

• \(n_\mathrm{AH,éq}=n_\mathrm{AH,i}-x_\mathrm{f}\) soit \(n_\mathrm{AH,éq}=C_\text{i}\times V -\tau_\mathrm{f}\times C_\mathrm{i} \times V=C_\mathrm{i}\times V \times (1-\tau_\mathrm{f})\) ;
  
• \(n_\mathrm{A^-,éq}=n_\mathrm{H_3O^+,éq}=x_\mathrm{f}\) soit \(n_\mathrm{A^-,éq}=n_\mathrm{H_3O^+,éq}=\tau_\mathrm{f}\times C_\mathrm{i}\times V\).

On exprime les concentrations en quantité de matière à l'équilibre chimique :

• \([\mathrm{AH}]_\mathrm{éq}=\frac{n_\mathrm{AH,éq}}{V}=\frac{C_\mathrm{i}\times V \times (1-\tau_f)}{V}\) soit \([\mathrm{AH}]_\mathrm{éq}=C_\text{i}\times (1-\tau_\mathrm{f})\) ;
  
• \([\mathrm{A^-}]_\mathrm{éq}=[\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}=\frac{\tau_\text{f}\times C_\mathrm{i}\times V}{V}\)soit \([\mathrm{A^-}]_\mathrm{éq}=[\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}=\tau_\mathrm{f}\times C_\mathrm{i}\).

5. Exprimer le quotient de réaction à l'équilibre pour lier les concentrations des espèces mises en jeu et la constante d'acidité

Dans un état quelconque du système :

• \(\mathrm{AH(aq)}\), \(\mathrm{H_3O^+(aq)}\) et \(\mathrm{A^-(aq) }\) sont des solutés, leur activité chimique respective est  \(a_\mathrm{AH(aq)}=\frac{[\mathrm{AH]}}{\text{c°}}\), \(a_\mathrm{H_3O^+(aq)}=\frac{[\mathrm{H_3O^+]}}{\text{c°}}\) et \(a_\mathrm{A^-(aq)}=\frac{[\mathrm{A^-]}}{\text{c°}}\) ;
  
• \(\mathrm{H_2O(\ell)}\) est le solvant, donc son activité chimique vaut \(a_{\mathrm{H_2O(\ell)}}=1\).
  

Le quotient de réaction à l'état d'équilibre du système est donc :
\(Q_\text{r,éq}=\frac{(a_\mathrm{A^-(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_3O^+(aq),éq})^{1}}{(a_\mathrm{AH(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_2O(\ell),éq})^{1}}\) soit \(Q_\text{r,éq}=\frac{\frac{[\mathrm{A^-]_{éq}}}{\text{c°}}\times\frac{[\mathrm{H_3O^+]_{éq}}}{\text{c°}}}{\frac{[\mathrm{AH]_{éq}}}{\text{c°}}\times1}=\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}}\) 

Par définition de la constante d'acidité : \(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

6. Remplacer les concentrations par leur expression trouvée précédemment

On substitue les concentrations par leur expression dans la relation plus haut :
\(\frac{C_\text{i} \times \tau_\mathrm{f} \times C_\text{i} \times \tau_\mathrm{f}}{C_\text{i}\times (1-\tau_\mathrm{f})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\) soit \(\frac{C_\text{i} \times (\tau_\mathrm{f})^2 }{(1-\tau_\mathrm{f})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

7. Établir l'équation du second degré vérifiée par le taux d'avancement final :

On peut modifier l'expression ci-dessus de la façon suivante : \(\frac{C_\text{i} \times (\tau_\mathrm{f})^2 }{K_\text{A}\times{\text{c°}}}=(1-\tau_\mathrm{f})\).

En passant tous les termes du même côté de l'égalité, on obtient l'équation du second degré vérifiée par le taux d'avancement final de la transformation : \(\frac{C_\text{i}}{K_\text{A}\times{\text{c°}}}\times \tau_\mathrm{f}^2+\tau_\mathrm{f}-1=0\).

Remarque : on peut écrire l'équation ci-dessus sous forme normalisée (coefficient égal à 1 devant le terme de plus haut degré) : \(\tau_\mathrm{f}^2+\frac{K_\text{A}\times{\text{c°}}}{C_\text{i}}\times\tau_\mathrm{f}-\frac{K_\text{A}\times{\text{c°}}}{C_\text{i}}=0\).